Nino Martino

A proposito dell'immaginazione, dei numeri immaginari immaginati e di tutti quei pasticci nell'insegnamento della matematica

Tutti sannio che le cose immaginarie non esistono se non nell'immaginazione. Quindi i numeri immaginari non esistono. O no? Note sulla didattica della matematica ...

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I numeri immaginari hanno avuto una sfortuna: di essere stati chiamati immaginari. Questo ha dato la stura a tutta una serie di considerazioni, che per me non hanno molto senso. Ma c'è qualche cosa che mi interessa molto dal punto di vista didattico.
Due più due fa quattro. Lo sanno tutti. E la formula viene usata anche per dire: è ovvio, lo sanno tutti, succede sempre così.
E se invece dicessimo che due più due a volte fa tre, a volte anche meno e che al più fa quattro?
“Via, scherzi sempre tu!” magari mi rispondereste.

immagine di un frattale ottenuta con i numeri complessiimmagine di un frattale


Il problema è che in natura ci sono delle cose per cui due più due non fa quattro. Faccio un esempio: siamo su una nave, con il vento al traverso (perpendicolare alla direzione della nave) di 30 Km/h.
La nave procede con una velocità di 40 Km/h. Che vento sento io sulla tolda della nave? E da che direzione viene? La velocità del vento NON è di 70Km/h, e NON viene né da prua, né dal traverso.
E' una velocità decisamente più piccola di 70, ma più grande sia di 30 che di 40. In questo caso 30 più 40 non fa 70.
NON posso usare la buona, cara, vecchia e confortante somma algebrica per fare il calcolo.
Ma c'è bisogno o no di calcolare queste cose? Certo, se avete problemi di navigazione.
Questo è solo un esempio fra gli infiniti possibili, che fanno vedere come la algebra dei numeri reali non è sufficiente a farmi fare i conti necessari in certe situazioni e a permettermi, cosa importante, delle previsioni di comportamento.
Per risolvere il problema del vento che sento a bordo della nave devo costruirmi qualche cosa di nuovo, devo costruire i vettori. I vettori sono degli oggetti che non seguono la somma algebrica e corrispondono esattamente al bisogno del navigante (nel nostro esempio). Seguono una particolare regola di somma detta appunto somma vettoriale.
Che c'entra con i numeri immaginari? : All'interno dei numeri reali non posso fare certi conti, che però la realtà mi impone di fare. Allora costruisco un altro insieme di “numeri”, l'insieme dei vettori. Posso anche assiomatizzare, posso elevare il contenuto formale della teoria e riuscire a far dimenticare l'origine e la partenza.
Vi siete mai chiesti se i vettori siano reali o no? Avete mai discusso e dissertato filosoficamente sui vettori come fate con i numeri immaginari?  Arrivando magari a mettere in dubbio la scienza? Non credo.
Eppure riflettiamo: dal punto di vista algebrico dei numeri reali i vettori NON hanno la possibilità di esistenza. All'interno dei numeri reali (altro nome infelice: i numeri reali sono dunque reali?) 2 più 2 fa sempre 4.
Prendiamo adesso i numeri complessi (è un altro modo, più felice, di chiamare i numeri immaginari).
Il punto di partenza è che non si riesce a fare la radice quadrata di -1. Non esiste la radice quadrata di -1. Perché il quadrato di un qualunque numero (l'operazione inversa della radice quadrata) è sempre +1, non può mai essere -1.
Ma è proprio vero che non esiste la radice quadrata di -1? Certo all'interno del campo dei numeri reali non esiste, non può esistere.
Ma se è necessario usare dei calcoli particolari costruisco un altro insieme di simboli, di numeri: i numeri complessi o immaginari, in cui la radice quadrata di -1 esiste. Poi formalizzo e assiomatizzo e faccio tutto quel che volete con il risultato probabile di farvi dimenticare il punto di partenza.
Esattamente come ho fatto con i vettori.
Porsi la domanda della esistenza o meno di enti matematici è fortemente fuorviante. Uso simboli, regole e altro per descrivere il comportamento degli oggetti, per descrivere le relazioni fra oggetti, senza parlare degli oggetti. Questa è una caratteristiche della matematica, della teoria matematica: ' parlare delle relazioni tra oggetti senza parlare degli oggetti. Le proprietà che si ricavano vanno bene per tutti gli oggetti.
Faccio un esempio di altro tipo, per spiegarmi bene:

la matita è dentro l'astuccio,

Dina è dentro la stanza.

Sono due asserzioni. “essere dentro a” è una relazione che va bene per molti oggetti.
Nessuno penserebbe di scambiare Dina con la matita ecc. Ho parlato di una relazione fra oggetti che è indipendente dagli oggetti stessi. Poi posso formalizzare, posso dire che non è una proprietà transitiva per esempio. Difficilmente posso dire che la stanza è dentro Dina (salvo ... licenze poetiche).
Perché questo è importante per la didattica?
Perché nell'insegnamento “normale” della matematica non si parla mai dei punti di partenza. Si studia, si insegna la matematica come un corpo teorico privo di punti di partenza, e poiché la matematica si presta bene a questo, si insegnano le complesse relazioni, le dimostrazioni, i teoremi, gli esercizi (gli esercizi!) sempre senza alcun punto di partenza e senza agganci con la realtà. Alcuni dicono che in questo consiste la bellezza della matematica: vedere il puro svolgersi di conseguenze logiche, di proprietà di relazioni, di esercizi fatti per vedere se uno ha ben capito le regole sacre, senza contaminazioni della bruta (brutta) materia. Hanno forse problemi di personalità e di rapporto con il mondo e la gente?
Faccio un esempio brutale: le equazioni nascono da diverse situazioni e da problemi di equilibrio, nella realtà fisica.
Le equazioni sono inizialmente assai semplici. Perché non iniziare ad esempio dalla necessità di impostare equazioni e risolverle e poi successivamente introdurre tutti gli strumenti per risolvere equazioni via via più complesse? Sembra che questo procedimento (un procedimento di logica ... naturale) sia un tradire la bellezza intrinseca della matematica. Allora si parte con i monomi, si complica, sempre di più, si introducono le composizioni, le scomposizioni, i prodotti notevoli, le espressioni (e uno si chiede sempre “ma dove vogliamo arrivare”...) e finalmente, quando uno ha ormai abbandonato ogni pretesa di capire non solo dove vogliamo arrivare, ma più generalmente di capire (non sto parlando della capacità di risolvere esercizi: dato un insieme di regole il cane ammaestrato sa bene fare gli esercizi...), ammaestrato dai quattro e dagli otto, ecco che si fanno le equazioni.
Quando poi in un problema di fisica, bisogna tradurre un equilibrio in una equazione e risolverla si consuma la tragedia umana ed esistenziale dello studente, che, con occhio mite, di pesce bollito, guarda senza capire e pensa che sia di fronte a una cosa difficilissima (esperienza successa realmente, in una classe reale, con uno studente che aveva otto di matematica) .
Fate attenzione a non interpretare male le mie parole: non sto dicendo che tutto va inteso in senso utilitaristico. È rimasto celebre un insegnante di matematica che, arrivato per una supplenza in una seconda liceo scientifico del piano nazionale di Fisica, era rimasto sorpreso che gli studenti avessero fatto già i vettori e che stessero parlando e discutendo delle proprietà assiomatiche dei vettori e delle differenze fra queste e le proprietà assiomatiche dei numeri reali. “Ma questo non fa parte del programma di seconda”, pare che balbettasse...
Sto dicendo invece una cosa assai banale: bisogna dare un senso a quello che si fa. Altrimenti perché uno dovrebbe farlo? D'accordo, sennò piglia due , ma non è un po' pochino come motivazione? In che cosa dovrebbero trovare la motivazione gli studenti che studiano la matematica? La matematica sembra una cosa super lontana dalla vita e dalle necessità.
I numeri complessi (gli infelici numeri immaginari) non fanno eccezione. Ma qui il problema è assai piccolo, poiché gli insegnati stessi non si ricordano affatto perché si è stati costretti ad introdurre i numeri complessi e pensano ancora che sia solo un problema della radice di -1. I numeri complessi, pur facendo parte dei programmi, non vengono affatto trattati o trattati assai di sfuggita, come un simpatico (sic!) trucchetto per fare le radici quadrate di numeri negativi.

Ma senza numeri complessi diventa assai difficile descrivere il comportamento di un circuito elettrico — elettronico. Senza numeri complessi diventa impossibile parlare di fisica quantistica e fare delle previsioni di comportamento.

Questa è una cosa assai ... carina. Utilizzando i numeri complessi (come succede in genere per tutta la matematica) riesco a prevedere il comportamento (magari probabilistico) degli elettroni ecc. Ma se chiamo i numeri complessi immaginari ecco che salta fuori un problema apparentemente misterioso ed insoluto: utilizzando delle cose “immaginarie” e quindi “inesistenti” riesco a prevedere dei comportamenti reali della materia! E via ai fiumi filosofici (con rispetto parlando del vero filosofare...) di inchiostro.

Magari, invece, la cosa è più banale. Dovendo fare dei conti particolari e delle previsioni utilizzo una estensione dei numeri, con delle proprie regole, per fare i calcoli. Ho introdotto le estensioni, con le loro regole, per rispondere a un bisogno di descrizione simbolica della realtà, del movimento delle cose della realtà.

Tutto il corpo teorico-simbolico della matematica è stato costruito per questo. Poi, poiché c'è sempre qualcuno rigoroso che vuole coerenza nelle cose e così via, si possono anche sviluppare teoremi all'interno del corpo stesso della matematica, spingersi più in là con la coerenza e con le conseguenze e magari si trovano nuove cose, che Îì per lì non sembra abbiano applicazioni pratiche.
Le geometrie non-euclidee ne sono un esempio forse.Cosa succederebbe se io cambiassi o togliessi uno dei cinque assiomi? Sembra un solo esercizio di logica e di formalizzazione. Ma aprtire dalla relatività generale le geometrie non euclidee corrispondono ad un effettivo bisogno di descrizione del mondo che ci circonda.

Era fatto già noto ai naviganti: la geometria su una sfera NON è euclidea. I triangoli sulla superficie della sfera possono avere ben più di 180° come somma degli angoli interni.

Un altro esempio celebre: Dirac, il famoso Dirac, scoprì che dalle sue equazioni derivava una strana simmetria, per cui ad una particella doveva corrispondere, in qualche modo, una anti-particella. Cercò più volte di eliminare questa anomalia dalle sue equazioni, poi si arrese e dichiarò che un effetto della simmetria delle sue equazioni era quello delle antiparticelle, ma che era un effetto indesiderato. Pazienza. Peccato che avesse “scoperto” da un punto di vista teorico l'antimateria, poi sperimentalmente trovata...

Con questo voglio parare le possibili accuse. La matematica ha una sua dignità teorica e la ricerca matematica ha un suo senso, oggi. Ma l'insegnamento della matematica invece fa acqua da tutte le parti. E non si può risolverlo certo facendo fare più esercizi, o aumentando il numero di ore di supplizio degli studenti, o riducendo, o aumentando il numero di nozioni.

Il nodo, appunto, è altrove.

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Commenti

Su numeri immaginari ecc.

Caro Nino, solo per pur caso ho visto ora il tuo scritto. Sintesi telegrafica: sono d'accordo su alcune cose (per es. che l'insegnamento della matematica fa acqua da tutte le parti) in disaccordo, talora anche forte, su altre.

Ci sono in quello che scrivi anche affermazioni fattualmente sbagliate.

Es. banale: numeri immaginari e numeri complessi sono cose diverse: 2+3i è un n. complesso, 5i è un n. complesso di un tipo particolare, senza parte reale. Solo questi si chiamano immaginari.

Ma ci sono altri esempi più importanti, che non posso spiegare bene in un commento. Per es. tu scrivi: "Tutto il corpo teorico-simbolico della matematica è stato costruito per questo." Non è vero. E proprio il caso dei numeri complessi lo dimostra.

Sono stati introdottti (Raffaele Bombelli, Algebra, 1572) per una necessità strettamente matematica, il famoso "casus irreducibilis" dell'equazione di terzo grado. La formula risolutiva nel caso in cui l'equazione ha tre radici reali richiede di poter fare la radice quadrata di un numero negativo. Altrimenti le tre radici non saltano fuori.

Un altro esempio lo fai tu stesso: la geometria non euclidea, che nasce dai tentativi falliti di "dimostrare" il quinto postulato di Euclide. E si potrebbe continuare a lungo...

Non sono nemmeno d'accordo con l'esempio da cui parti: la somma vettoriale di due velocità. E dovresti saperlo: ritengo errato descrivere quel problema come un problema di somma. Si tratta invece di trasformazione di una grandezza al cambiare del sistema di riferimento. Nella fisica galileiana la trasformazione si fa con una somma vettoriale. In quella einsteiniana no.

Non posso dilungarmi, perché è pronto il pranzo. Ciao

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