l'esperienza di Zuoz

Report del lavoro nelle classi - il pendolo e la teoria degli errori

come introdurre la teoria degli errori a partire dalla misura del periodo di un pendolo

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Si può partire da molte esperienze per introdurre la teoria degli errori.  Il procedimento è però sempre lo stesso: partire dalla necessità di misurare delle cose, scoprire che le misure hanno una loro fluttuazione, cercare di capire l'origine degli errori che portano a questa ineludibile fluttuazione, arrivare ad escogitare metodi e apparati via via più raffinati per ridurre gli errori, e poi cercare di capire come elaborare una teoria degli errori che mi dia degli indici di "affidabilità" di una misura.

Già in altra parte abbiamo scritto che partire da lezioni teoriche sulla teoria degli errori non porta a grandi successi.

In questo report vediamo come si comporta una classe reale di fronte all'esperienza del pendolo e come vengono fuori una serie di questioni sugli errori, su cui poi si innesterà la lezione teorica.

Per prima cosa si utilizza uno strumento divertente per misurare i tempi di riflessi di una persona. Una righetta ha una certa graduazione in decimi di secondi (tarata in base all'accelarazione di gravità). L'insegnante tiene tra le dita l'estremità superiore. Lo studente ha le dita a pinza ma aperte sulla estremità inferiore. Quando l'insegnate molla la righetta in verticale lo studente deve fermarla acchiappandola al volo.

Tutti pensano di farcela praticamente subito. E invece... Lo studente A impiega 0,15 secondi a reagire, lo studente B impiega 0,17 secondi. L'esperiemnto fa il giro della classe, tutti pensano di fare meglio ma hanno la sorpresa di scoprirsi ... lenti di riflessi.

Questa prova è importante per quel che segue.

Adesso si prende un pendolo con una certa lunghezza del filo e con una certa massa (in precedenza in questa classe si era già fatta una discussione visiva sulle variabili collegate al periodo del pendolo e si era definito il periodo e si era concluso che le principali variabili di cui tener conto erano la lunghezza e la massa).

Quindi le stesse persone di prima, A e B, devono ora misurare il tempo che impiega il pendolo a fare un'oscillazione completa.

A misura 0,8 s (aveva un tempo di riflesso di 0,15s)

B misura 0,6 s (aveva un tempo di riflesso di 0,17s) (nel primo caso sarebbe ±0,3 s e nel secondo ±0,34 s)

Non si è ancora aggiunto alcun errore alla misura, la scelta è di introdurlo dopo una domanda: qual è secondo voi la misura migliore?

Vengono sparati valori abbastanza a caso: 0,5 - 0,6 - 0,4

Curiosamente viene scartata la possibilità che sia 0,8. Perché? Non sanno rispondere - sembra un valore troppo alto? Non hanno fiducia in A?

Come fare a decidere qual è un attendibile valore della misura di T? L'errore umano nella misura di un'oscillazione è sicuramente tra 0,3 s e 0,34 s (c'è l'errore del tempo di riflesso allo start e lo stesso errore allo stop, quindi si sommano). C'è la possibilità di misurare meglio?

(introduciamo qui una nota di Elio Fabri che ci sembra importante e che facciamo in effeti nostra, oggi, a correzione di quanto detto a lezione, e quindi nel report. Dice Fabri:

"A proposito dei pendoli e degli errori: non sono d'accordo che si debbano sommare gli errori alla partenza e allo stop, dovuti al ritardo dell'operatore umano.
Infatti che il ritardo fosse esattament ecostante, non introdurrebbe alcun errore, in quanto i due ritardi iniziale e finale si compenserebbero.Quindi come errore va calcolata solo la *fluttuazione* dei ritardi."

e poi aggiunge una spiegazione da fornire agli studenti:

"Cerco di spiegarlo come si potrebbe spiegare ai ragazzi.A causa dei tempi di reazione, che sono finiti anche se piccoli, c'è un ritardo tra il momento in cui uno vede un evento e quello in cui agisce di conseguenza.
Nel nostro caso, fra quando vede passare il pendolo per il punto più basso e quando preme il pulsante del cronometro.
Se questo ritardo fosse fisso, non avrebbe influenza: uguale ritardo all'inizio del gruppo di oscillazioni e alla fine ==> il  tempo misurato è giusto.
Ma se il ritardo non è fisso, produce un errore: vediamo come.
Supponiamo che da una volta all'altra il ritardo *di uno stesso ragazzo* fluttui in modo imprevedibile fra 0.12 e 0.18 secondi.Allora il caso peggiore si avrà quanmdo il ritardo alla partenza è piccolo, e all'arrivo e grande: il tempo misurato risulterà "allungato" di 0.18-0.12 = 0.06 s.
Nel caso migliore, all'opposto, con grande ritardo all'inizio e piccolo alla fine, il tempo risulterà accorciato: 0.12-0.18 = -0.06.
Conclusione: la misura di tempo è affetta da un'incertezza di +/-0.06 s.

come vedete, non basta valutare il ritardo medio, anzi è inutile.
Quello che serve è conoscere la dispersione dei ritardi attorno al valor medio."

 Si mostra un sensore photogate, collegato al solito computerino che registra i dati. Si spiega come funziona e lo si fa provare agli studenti. Si passa una prima volta un dito, anche velocemente fra i due riferimenti del fotogate. Una prima volta si chiude, la seconda volta si apre. Viene registrato il tempo fra apertura e chiusura. Insieme con gli studenti si monta un apparato per poter reggere il photogate. Inizialmente si pensava di fare passare il filo tra le due cellule, ma il filo era troppo sottile. Una ragazza pensa di mettere un pezzettino di carta sul filo ma casualmente si scopre che potrebbe andare bene anche la vitina che lega la massa della sfera di acciaio al filo.

A questo punto, facendo una prova pratica, si vede che il computerino apprezza con una precisione di 0,00001 s. Il tumulto nella classe è immediato: perché non l'abbiamo usato subito? Il tumulto viene sedato con l'osservazione che bisogna capire come funzionano le cose bene, prima di pensare ai raffinamenti - e poi non sempre si ha a disposizione un sensore photogate...

Come si può pensare di migliorare la prestazione... umana? Viene l'idea, in discussione di misurare dieci oscillazioni, invece che una. Il tempo misurato è più lungo ma l'errore umano è lo stesso.

osservazione: ciò non è subito compreso dagli studenti, ma alla fine concordano con il fatto che l'errore si riduce da 0,3 a 0,03. Bisognerà parlare in seguito di errore assoluto e errore relativo, Se io commetto un errore di un centimetro nel misurare 1 m o l'errore di un centimetro per misurare un km è la stessa cosa oppure no?


Parte ora la cosiddetta gara uomo-macchina. Lo studente A e lo studente B misurano il tempo di dieci oscillazioni e trovano:

A : 16,5 ± 0,3 s  T=1,65 ± 0,03 s

B:  16,5 ± 0,34 s T=1,65 ± 0,037 s

Casualmente è venuto lo stesso tempo

La stessa misura si fa con il photogate contando una sola oscillazione (non si vuole umiliare troppo...)

Non si legge subito la misura del photogate. Cosa vi aspettate che sia? Entro quali valori sarà compresa ragionevolmente la misura della macchina? Dopo un po ' di cifre sparate a caso si conviene che dovrebbe essere compresa fra 1,687 e 1,613 ( si è preso il T con l'errore massimo in più o in meno)

A questo punto si legge la misura della macchina:

T=1,66571 ± 0,00001s

Il risultato è più preciso di diverse cifre decimali ma è entro i valori che prevedevamo.

Si può pensare di migliorare la performance umana misurando 10 o 30 o 100 oscillazioni.

Nasce però un problema: ma siamo sicuri che misurare il tempo di 10 oscillazioni e dividere poi per dieci sia corretto? Dopo discussione si arriva a concludere che questo procedimento è corretto se il periodo non dipende dall'ampiezza. Mano a mano che il pendolo oscilla l'ampiezza diminuisce, quindi se il periodo dipendesse dall'ampiezza il valore sarebbe alterato, la media funziona se tutte e dieci le oscillazioni hanno lo stesso periodo.

Ma questo è vero oppure no?

Come facciamo a saperlo? La risposta arriva quasi subito: misuriamo dieci oscillazioni con una certa ampiezza e dieci oscillazioni partendo da una ampiezza diversa.

Una studentessa escogita di mettere una sbarra a traguardo per prendere ampiezze diverse. Si fa la misura con una ampiezza decisamente maggiore. Si prendono questa volta cinque oscillazioni soltanto (l'ampiezza è grande e ci sono problemi ... tecnici).

Il periodo misurato dall'umano è di T=1,78 ± 0,06 s

All'interno degli errori il periodo appare maggiore. Come si farà a risolvere questa questione? Lo si vedrà nella lezione successiva.

in realtà si prenderanno diverse misure di T a diverse ampiezze (magari anche con il photogate) e si vedrà come si comporta il periodo al variare dell'ampiezza. Con il photogate si può anche fare oscillare il pendolo fino a quasi fermarlo. A computer si vedrà allora una curva che mi dice che il periodo varia molto ad ampie oscillazioni, ma che mano a mano che l'ampiezza diminuisce varia sempre di meno, a un punto tale che non si commette errore apprezzabile all'interno della misura, se si considera che il periodo delle oscillazioni per piccole oscillazioni rimanga costante. Ma cosa vuol dire piccole oscillazioni? Con che strumenti? E qual'è la bontà delle approssimazioni delle piccole oscillazioni? Lo si vedrà sperimentalmente.

 Alcuni spunti di riflessione. Questo è quello che è accaduto nella classe reale. Rispetto ad altre classi che hanno fatto la misura di una area (riportate in altri report), la piega che ha preso il discorso è diversa. In realtà ci piace di più questa piega: ha un carattere più ... fisico. Ma guardate bene i concetti che sono venuti fuori dalla pratica sperimentale della classe (e dalla discussione al loro interno): errore assoluto, errore relativo (non è venuto fuori l'errore sistematico, come era venuto fuori  nelle altre due classi), metodi per raffinare le misure, cosa vuol dire che la misura è in realtà un intervallo di valori, utilizzo successivo di macchine per raffinare la misura (ma anch'esse misurano un ... intervallo).

La prosecuzione appare chiara, per quanto sia possibile prevedere la piega che prenderanno le cose a contatto con la classe reale e con i suoi problemi. Ora si tratterà di far vedere che prendendo molte misure di dieci oscillazioni (almeno cinque, secondo i canoni classici) si può ridurre ulteriormente l'errore stimato, facendo la media delle misure, e poi ci saranno le considerazioni sugli scarti e si potrà anche ad arrivare alla deviazione standard (se la classe reale riesce a seguire - il se dipende dal fatto che la classe appare debole matematicamente).

Immaginate ora la stessa classe e immaginate di incominciare con la teoria degli errori (è stato fatto, come diciamo in altra parte di queste pagine). A parte la noia mortale che tutti noi conosciamo bene, la teoria degli errori non parte da una necessità reale, appare ancora una volta come un soliloquio dell'insegnate che gli studenti devono seguire e studiare, anche senza aver capito bene di che cosa si parla. Questo può portare a una vera conoscenza della fisica e dei suoi aspetti teorici. Noi riteniamo di no. E il tempo "perso" in questo modo di procedere è tempo risparmiato al doppio per quanto riguarda l'apprendimento duraturo e soprattutto alla capacità di muoversi in laboratorio, affrontare lo studio di fenomeni nuovi e così via.

Ovviamente le lezioni teoriche ci vogliono, ci vuole la sistemazione teorica, gli aspetti formali e necessariamente attratti e a seconda del tempo a disposizione (questa volta sì, dipende dagli ordinamenti, dai programmi e da quant'altro collegato) si può arrivare, come mostreremo, a livelli inaspettatamente elevati.

Concludiamo riportando quanto si veniva a scrivere sulla lavagna a proposito di una prima lista di quello che deve fare un buon sperimentatore in laboratorio:

decidere il fenomeno e gli aspetti da studiare

decidere cosa e come misurare

ripetere le misure

capire come funzionano le cose

non essere "sloppy", sciatto

evitare i disturbi e il rumore (riferito all'ambiente, per esempio della classe)

 

Giuseppe Milanesi e Nino Martino

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Commenti

a proposito di pendoli ed errori

A proposito dei pendoli e degli errori: non sono d'accordo che si
debbano sommare gli errori alla partenza e allo stop, dovuti al ritardo
dell'operatore umano.
Infatti che il ritardo fosse esattament ecostante, non introdurrebbe
alcun errore, in quanto i due ritardi iniziale e finale si compenserebbero.
Quindi come errore va calcolata solo la *fluttuazione* dei ritardi.

Sull'errore del photogate, non metterei la mano sul fuoco per quei 10
microsecondi.
Non perché lo ritenga impossibile (ho esperienza che si può fare anche
di meglio, con mezzi semplici) ma perché occorre sapere da dove viene
quel numero e che significato ha.

******

riferendomi a "Quindi come errore va calcolata solo la *fluttuazione* dei ritardi."
Cerco di spiegarlo come si potrebbe spiegare ai ragazzi.

A causa dei tempi di reazione, che sono finiti anche se piccoli, c'è un
ritardo tra il momento in cui uno vede un evento e quello in cui agisce
di conseguenza.
Nel nostro caso, fra quando vede passare il pendolo per il punto più
basso e quando preme il pulsante del cronometro.
Se questo ritardo fosse fisso, non avrebbe influenza: uguale ritardo
all'inizio del gruppo di oscillazioni e alla fine ==> il  tempo misurato
è giusto.
Ma se il ritardo non è fisso, produce un errore: vediamo come.
Supponiamo che da una volta all'altra il ritardo *di uno stesso ragazzo*
fluttui in modo imprevedibile fra 0.12 e 0.18 secondi.
Allora il caso peggiore si avrà quanmdo il ritardo alla partenza è
piccolo, e all'arrivo e grande: il tempo misurato risulterà "allungato"
di 0.18-0.12 = 0.06 s.
Nel caso migliore, all'opposto, con grande ritardo all'inizio e piccolo
alla fine, il tempo risulterà accorciato: 0.12-0.18 = -0.06.
Conclusione: la misura di tempo è affetta da un'incertezza di +/-0.06 s.
Come vedete, non basta valutare il ritardo medio, anzi è inutile.
Quello che serve è conoscere la dispersione dei ritardi attorno al valor
medio.

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