l'esperienza di Zuoz

Report del lavoro nelle classi - il pendolo, l'attrito, le misure, i conti

un pendolo innocente pu˛ mostrare ad un attento esame intricate relazioni fra le variabili in gioco, soprattutto se si fanno misure precise...

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A volte la teoria appare persino facile (relativamente). Si può fare la teoria del pendolo e dire che per per oscillazioni di piccola ampiezza e In assenza di attrito (ma qualche volta non si dice che non ci deve essere attrito...) il periodo del pendolo semplice (filo e pesetto) non dipende dalla massa ma solo dalla lunghezza e dall'accelerazione di gravità:

T=2\pi \sqrt{\frac l g}

Qualche volta si ricava la formula e si fa vedere che per piccole oscillazioni seno di un angolo e misura dell'angolo stesso in radianti si possono considerare uguali e si giustifica la formula di cui sopra.

Ma sperimentalmente?

Abbiamo scelto di iniziare con il pendolo in un paio di classi, dopo la misura dell'area e le considerazioni sugli errori. Questo per un paio di motivi.

un pendolo famoso...

Il primo è che il moto di un pendolo ha molte variabili possibili: lunghezza, massa attaccata al pendolo, attrito con l'aria, ampiezza delle oscillazioni, materiale del filo, gravità e cos' via.

E questo permette di far vedere in concreto come si osserva un fenomeno, come si scelgono le variabili "significative", come in presenza di più variabili significative se ne scelga una e si tengano le altri costanti in qualche modo, costruendo ad hoc l'esperimento. In effetti è cosa non banale e che fa parte del lavoro di ricerca ad ogni livello e abbiamo quindi scelto di formare negli studenti un corretto metodo di lavoro.

Il secondo è che in questo modo si fa vedere anche come è necessario effettuare delle misure, che significato hanno gli errori e gli intervalli delle misure, e come si può pensare di costruire via via un oggetto sempre più raffinato per evidenziare e misurare il fenomeno da studiare. Non è sufficiente andare ad "occhio" per apprezzare le effettive relazioni fra le variabili.

Di fronte alla classe reale abbiamo fatto oscillare un pendolo e abbiamo chiesto loro di capire che caratteristiche aveva il moto del pendolo, cosa era che lo distingueva da altri modi possibili. Si è arrivati dopo un po' (non subito) a dire che la caratteristica era che il pendolo compiva una oscillazione e ritornava al punto di partenza, poi compiva un'altra oscillazione e così via. E a occhio il tempo che impiegava una oscillazione era uguale a quello di tutte le altre.

Ma come essere sicuri che il tempo sia lo stesso?

Bisogna introdurre un modo per misurare il tempo che il pendolo impiega a fare una oscillazione completa. Viene l'idea di fissare un traguardo, per esempio quando il pendolo passa in corrispondenza del minimo di altezza.

Gli studenti fanno la misura di una oscillazione, ma è evidente (la lunghezza era abbastanza corta ad arte) che non è un buon modo.

Bisogna scattare il cronometro allo start (e c'è un errore dei tempi di riflessi di circa un decimo di secondo) e riscattare allo stop (e c'è un altro decimo di errore). Questo se va bene.

Il periodo che si misura è dell'ordine di un secondo, quindi con un errore di almeno un paio di decimi di secondo. Se ci sono piccole variazioni non si riuscirebbero ad apprezzare.

Viene allora l'idea a uno studente di misurare una decina di oscillazioni. Il tempo diviso dieci darà il periodo. Poiché l'errore del tempo di riflessi si compie solo all'inizio e alla fine della misura, questo errore risulta diviso anche lui per dieci. Sembra una buona idea. Ma si base sul fatto che le oscillazioni abbiamo tutte lo stesso tempo di oscillazione. In realtà l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce con il tempo, il pendolo tende a fermarsi, per via degli attriti con l'aria e nel punto di appoggio e nel filo. Quindi l'ampiezza diminuisce.

Ma se il periodo del pendolo dovesse dipendere dall'ampiezza, misurando dieci oscillazioni successive e poi dividendo per dieci non sto misurando il tempo di una oscillazione ma il tempo medio di dieci oscillazioni decrescenti.

Il problema sembra irrisolvibile.

Gli studenti ci studiano un po' sopra. Nella discussione viene l'idea di misurare dieci oscillazioni a diversa ampiezza di partenza.

Per piccole oscillazioni il periodo è diverso (è più piccolo) del periodo ad oscillazioni molto ampie. Questo si vede chiaramente all'interno degli errori e ripetendo più volte la misura in modo da elaborare un po' di teoria degli errori.

Allora si prendono sistematicamente delle misure e si osserva che se si prendono piccole ampiezze non molto diverse fra loro la variazione del periodo è minima, praticamente indistinguibile. Quindi si farà d'ora in poi la approssimazione delle piccole ampiezze.

(facciamo notare qui che l'approssimazione delle piccole oscillazioni, fatta dal punto di vista teorico, qui ha ampia giustificazione sperimentale, risulta molto convincente e non un artificio matematico necessario per poter scrivere una formula. In seguito con misure ancora più raffinate, come vedremo, utilizzando un photogate, sarà possibile vedere proprio come decresce con l'ampiezza il periodo, si potrà vedere la curva e quindi si potrà apprezzare ancora meglio la bontà dell'approssimazione)

Avendo ora un metodo per la misura del periodo vediamo la sua dipendenza dalle variabili in gioco.

Quale sarà la variabile più importante?

Gli studenti rispondo (e generalmente è così) che è la massa appesa al filo.

Dobbiamo passare alle misure. Invece di mettere una massa, misurare il periodo, cambiare la massa e rimisurare il periodo la lezione prende una piega insolita che porterà molto avanti il livello. Si decide di mettere due pendoli diversi della stessa lunghezza e di massa diversa a confronto, appesi alla stessa sbarra trasversale. Se si fanno partire insieme sarà facile osservare se hanno lo stesso periodo senza dover fare misure con il cronometro.

Si fa partire l'esperimento. Inizialmente i pendoli sono in sincronia, ma dopo una ventina di oscillazioni incominciano ad andare in disincronia e dopo un po' la disincornia è evidente. Abbiamo visto sperimentalmente che il periodo "dipende" dalla massa se pur molto debolmente.

Questo è sconcertante. Siamo sicuramente nell'approssimazione delle piccole oscillazioni e il periodo dovrebbe dipendere solo dalla lunghezza del filo e dalla forza di gravità. Ma l'effetto è innegabile il periodo corrispondente al pendolo con la massa maggiore è più piccolo del perido del pendolo con la massa minore.

Se si passa alle misure manuali di dieci oscillazioni (a parità di ampiezza e piccole oscillazioni) non si riesce all'interno degli aerrori sperimentali ad apprezzare una reale differenza. Non si riesce cioè ad osservare con le misure fatte in wuesto modo l'effeto, peraltro molto evidente, della disincronia. L'effetto è così piccolo che si può osservare nel confronto e dopo un consistente numero di oscillazioni, ma non nelle misure manuali.

Viene allora fornito un apparato sperimentale diverso. Un photogate, collegato a un computerino di acquisizione dati. Si fa vedere come funziona, si nota l'errore piccolissimo dello strumento e poi si riparte con le misure.

 (gli studenti osservano: ma non ce lo poteva dare prima il photogate e il computerino? Ma la risposta è ovvia. Mano a mano che crescono le esigenze si passa ad apparati sperimentali via via più raffinati. That's life. Questa è la vita. Tra l'altro è molto utile fare così in un mondo in cui l'errore con i computer sembra sparire. Uno studente nella misura dell'area aveva detto che l'errore di misura si poteva eliminare completamente: bastava passare allo scanner la figura irregolare, riportarla a computer e il computer avrebbe fatto la misura precisa - illusione del mondo contemporaneo. Lo studente in questione ci rimase un po' male quando gli facemmo vedere l'errore nei pixel dello schermo e nella acquisizione immagini. Tra la'ltro ormai è ovvio che ci si chieda quanto errore ha il photogate, adesso è diventato normale associare ad ogni strumento o metodo un certo errore.)

L'errore del photogate è molto piccolo e ripetendo almeno cinque misure per fare un po' di statistica, si vede chiaramente la differenza del periodo, proprio all'interno degli errori sperimentali. Quindi adesso l'effeto di dissincronia, ovviamente piccolissimo, è misurato e non soltanto osservato con confronto fra i due pendoli.

Rimane da chiedersi a che cosa è dovuta la disncornia, visto che non figura la massa nella formula. È sbagliata la formula? Vi sono degli effetti di qualche cosa che non abbiamo considerato?

(con il photogate è possibile fare una cosa ancora più raffinata: prendere un centinaio o più di misure a computerino ed elaborare curve del periodo al variare del tempo osservato per poi metterle a confronto. È con il photogate che si possono apprezzare bene le esigenze di mettersi nelle piccole oscillazioni. Per piccole oscillazioni le variazioni del periodo diventa piccolissima e trascurabile.)

Viene in mente l'attrito che spegne progressivamente le oscillazioni. Ma l'attrito è lo stesso: in un caso sono due palline sferiche di uguale volume ma una di legno leggero e l'altra di acciaio (la differenza è di un paio di centinaia di grammi) e nell'altro gruppo di lavoro sono due prismi identici ma uno è di alluminio e la'tlro di acciaio (con una differenza di un centinaio di grammi).

L'esperienza qui si fa complessa e delicata. E viene fuori che con l'attrito le oscillazioni sono smorzate, e nelle oscillazioni smorzate, nel calcolo del periodo, appare un termine che dipende dall'attrito diviso la massa.

Infatti, per piccole oscillazioni dell'angolo θ l'equazione del moto si scrive

m l \frac {{\mathrm d^2}\theta}{{\mathrm d}t^2} = - mg \theta - \gamma \frac{{\mathrm d}\theta}{{\mathrm d} t}

dove l è la lunghezza del pendolo e γ un fattore che dipende dalla forma ed è direttamente proporzionale alla superficie del pesetto (trascurando l'effetto del filo). Dividendo per la massa e la lunghezza del pendolo si ottiene

\frac {{\mathrm d^2}\theta}{{\mathrm d}t^2} = - \frac g l \theta - 
\frac \gamma {ml} \frac{{\mathrm d}\theta}{{\mathrm d} t}

da cui si vede che c'è chiaramente un effetto della massa. A parità di forma e superficie del pesetto. L'effetto va nella direzione di aumentare il periodo (come si può intuire, il pendolo oscillerà più lentamente a causa dell'attrito) ma è tanto più piccolo quanto più grande è la massa, perciò il pendolo pesante oscillerà più velocemente portando a una disincronia osservabile.

Se non si vuole confondere le idee agli studenti (ma perché nascondere qualche cosa che tutto sommato porta a considerazioni interessanti?) è sufficiente prendere diverse masse di dieci, venti, trenta grammi - non molto differenti una dalle altre. E ovviamente l'effetto appare molto dopo.... Quindi si può barare e dire che il periodo non dipende dalla massa (ma perché farlo? È educativo farlo?).
 L'altra possibilità è ovviamente fare l'esperimento sotto vuoto. Non è consigliabile levare l'aria alla stanza e la costruzione di una campana ad hoc da mettere sottovuoto con una pompa da vuoto, appare esageratamente costosa rispetto al risultato....


Questo è il punto in cui ci si è fermati con la classe. Ma un'ulteriore osservazione potrebbe essere utile. Se si costruiscono (con i parallelepipedi è possibile) due pendoli che abbiano forme diverse, per fissare le idee il pendolo che ha una massa tripla deve avere una superficie tripla - un attrito triplo, la disincronia sparisce (abbiamo condotto noi l'esperimento nella preparazione del corso). Perché?  Essendo la correzione al moto dovuta all'attrito dipendente dal rapporto γ/m , e come detto γ è direttamente proporzionale alla superficie del pesetto,il fattore di correzione del periodo diventa uguale e quindi l'effetto sparisce.

La classe reale proseguirà il lavoro e su questo lavoro, relazionato, si innesteranno la teoria e le formule. E non si dimenticheranno facilmente...

Giuseppe Milanesi e Nino Martino

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