l'esperienza di Zuoz

Report del lavoro nelle classi - la misura di un'aerea irregolare 2

cosa succede se in una classe si parte dalla misura e dalle sue orribili incertezze prima di fare teoria degli errori? Ovvero lo scontro con gli errori, il crollo delle certezze e altre storie ancora

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Questa serie di lezioni, fatte in classi diverse, partivano dall'osservazione, come abbiamo già detto in altro articolo, che la teoria degli errori fatta in classe prima di una qualunque esperienza portava al disastro, nel senso che le formule apparivano magiche, da ricordare e incomprensibili (così risultava dal test di verifica, assolutamente disastroso). In questo modo di procedere il mondo appare rovesciato.

un modesto riferimento a Magritte...


Abbiamo provato a partire, al contrario, da una esperienza fatta direttamente dagli studenti  che li facesse scontrare con la necessità della teoria degli errori e con la necessità di costruire modi di misurare che riducano progressivamente l'errore della misura. Un effetto secondario ma altrettanto importante è mostrare come non esista la misura “vera” in fisica, ma che questo non comporta il crollo di alcunché dal punto di vista teorico.

Abbiamo riportato il risultato nella classe A che aveva fatto prima la teoria, vedi articolo "la misura di un'area irregolare 1", qui di seguito riportiamo il risultato dell'esperienza in una classe diversa, numerosa, che invece cominciava per la prima volta il corso di fisica.

Classe B

La classe è relativamente numerosa, più di quindici persone. Hanno a disposizione le stesse cose di quella, meno numerosa, dell'articolo "la misura di un'aerea irregolare 1".

Avviene una cosa curiosa: si formano quattro "scuole" di pensiero.

La prima: chiedono un bel pezzo di spago, lo tagliano e incominciano a misurare il perimetro della figura irregolare. Allora l'insegnate precisa: che relazione c'è fra il periodo e l'area?  Si discute con loro e si fanno vedere figure semplici che hanno lo stesso perimetro e aree diverse. Il perimetro non è un buon riferimento per calcolare l'aerea. Ben presto la scuola di pensiero del perimetro viene abbandonata. È interessante notare che anche nella classe successiva averrà lo stesso fenomeno. Probabilmente è legato a un qualche modo di fare appreso ai livelli iniziali di scolarità.

La seconda: si spezza la figura irregolare in tante figure geometriche relativamente semplici da calcolare come rettangoli e triangoli rettangoli. Ingegnoso ma rimane sempre il problema delle cose che rimangono fuori, del profilo frastagliato. Il metodo si rivela un po' laborioso anche in termini di tempo. Poi bisogna misurare le lunghezze (e noi sappiamo che ci sarà un errore), poi bisognerà calcolare le singole aree (e ci sarà una propagazione degli errori), poi bisognerà sommare le singole aree e infine aggiungere i pezzetti mancanti...

La terza: riportano la figura frastagliata su un foglio di carta a quadretti e poi contano i quadretti, numerandoli per evitare di sbagliare la numerazione mentale. Il metodo è astuto ma incontrano poi il problema della approssimazione dei quadretti semplicemente attraversati dalla linea della figura. Come decidere quanto contare del quadretto attraversato? due terzi, un quarto, la metà? Lì sta il problema. Poi alcuni si scontrano con il fatto che i quadretti a seconda del quaderno sono di 4x4mmm o di 5x5 mm.

La quarta: un gruppo prova a pesare come nellla classe A  della "misura di un'area irregolare 1"

Ecco i risultati (tenete presente che non essendo ancora sta fatta la teoria degli errori le misure non riportano ovviamente +- errore, nemmeno uno stimato. La discussione avverrà dopo.

  • gruppo 1: 109cm2    (metodo quadretti)
  • gruppo 2: 107,5 cm2 (metodo quadretti) e 111 cm2
  • gruppo 3: 73cm2 (metodo quadretti - ci deve pur essere qualche misura anomala, per non levare gusto alla discussione successiva)
  • gruppo 4: 110cm2 (metodo quadretti)
  • gruppo 5: 106cm2 (metodo bilancia)
  • gruppo 6: 103,75cm2 (metodo quadretti)
  • gruppo 7: 105,0185cm2 (metodo scomposizione in figure) (notate qui il numero di cifre decimali, buono per la discussione successiva)
  • gruppo 8 :198cm2 (metodo quadretti, misura chiaramente sballata e dovuta alla diversa dimensione dei quadretti dei fogli di questo gruppo era invece 4x4mm stimato invece come per gli altri in 5x5 mm)

Riportate sulla lavagna le misure diverse inizia la discussione. I numeri sono evidentemente diversi. Ogni gruppo ha trovato un numero diverso per la stessa area (le figure erano assolutamente identiche). C'è quindi un problema: esiste la misura "vera"?  Ma l'aera della figura esiste, l'abbiamo davanti agli occhi. Però quando andiamo a misurarla facciamo degli errori che è impossibile eliminare. In seguito, con lezione teorica, si farà la distinzione fra errori casuali e errori sistematici.

Per correggere l'errore del gruppo 8, basterà moltiplicare il numero dei quadretti per le nuove dimensioni corrette del quadretto - e daremo loro il nome di "errori sistematici". Gli altri errori non sono eliminabili - sono gli "errori casuali". Vedete come diventa semplice introdurli da una pratica di laboratorio invece che introdurli senza alcuna pratica di laboratorio (con la conseguenza che per un bel po' si confondono).

La discussione non è banale, gli studenti rimangono interdetti. Il gruppo delle quattro cifre decimali sostiene che le quattro cifre dopo la virgola hanno un senso perché vengono fuori dai calcoli e i calcoli non sbagliano e non hanno errori. Ma avete misurato le lunghezze delle figure geometriche in cui avete scomposto la figura irregolare con un righello? Sì. E quanto pensate sia l'errore della misura? Pur con qualche difficoltà, si convincono che anche la loro misura non è poi quella "vera"

Allora si conviene che una buona approssimazione della area potrebbe essere ottenuta facendo la media di tutte le misure (scartando 198 che è dovuto ad errore evidente e dichiarato).

area = 102cm2

E qui si innesta la teoria degli errori, che verrà poi sviluppata in teoria, partendo dalle misure. Che affidabilità dobbiamo dare alla misura media ottenuta? Riportando in excel, per esempio, per facilitare i conti, si vedranno gli scarti delle varie misure dalla media, si discuterà ancora e si arriverà alla deviazione standard.

Riportiamo ora i risultati in una terza classe, che chiameremo C.

Il compito affidato è lo stesso, il materiale a disposizione è lo stesso. I metodi che gli studenti usano per misurare l'area (che è volutamente la stessa della classe precedente) sono gli stessi, grosso modo, con una aggiunta, ingegnosa, e una ... mancanza.

Un gruppo riporta la figura frastagliata sul foglio di carta quadrettata, e poi disegna un rettangolo che contiene esattamente la figura riportata. Poi invece di contare i quadretti interni alla figura che sono molto di più, conta i quadretti tra la figura e il rettangolo che la contiene, che sono molto di meno. Poi sottrae all'aerea del rettangolo l'aerea di questi quadretti.

Il metodo della bilancia non viene usato da nessun gruppo. La guardano, si divertono a pesare cose e poi la scartano...

La classe è formata da ragazze e ragazzi di un anno, mediamente, più giovani della classe B.

Ecco le misure riportate dai vari gruppi:

92,5 cm2  108 cm2  110 cm2  92,64 cm2  100,8 cm2  92,5 cm2  99,93 cm2  94,5 cm 2  110 cm2  94,5 cm2 

 Anche qui si discute di come prendere un valore ragionevole. Anche qui si arriva alla media dei aritmetica dei valori. Anche qui si fa crollare il mito della misura esatta.

La media è

99 ± 9 cm2 

In questa classe, che ha lavorato più velocemente dell'altra, si è discusso di più. Si è parlato anche del calcolo degli scarti e quei 9 cm2   sono presi in modo da contenere tutti i valori a partire dalla media e si accenna che ci sono altri modi per raffinare l'errore presunto della misura. Si proseguirà poi in classe.

A questo punto, poiché nessuno l'aveva adottato si è parlato del metodo di misura attraverso la pesata della figura e di un foglio A4 della stessa carta (ovviamente).

I gruppi misurano con la bilancia e prima della fine della lezione tre gruppi arrivano ai seguenti risultati:

104,58 cm2   104 cm2   105 cm2 

E si ha il tempo prima di chiudere di osservare che la media di questi valori (104,5 ± 0,5 cm2)   è contenuta dentro gli errori della misura precedente.


Abbiamo riportato i valori delle misure non per pignoleria ma per far vedere quello che succede esattamente in una classe reale.

Piccola riflessione: come si fa a fare una fisica senza parlare di errori e di teoria degli errori delle misure? Quando si parla dei concetti fondamentali che si devono apprendere in un corso di fisica, tra questi, bisogna secondo noi introdurre bene gli errori delle misure. Senza misura niente fisica e senza una stima degli errori niente possibilità di capire l'andamento delle misure e delle relazioni fra grandezze. E quando si farà poi un grafico di una relazione, per esempio il grafico forza-spostamento per una molla, si dovranno riportare i rettangolini che determinati dagli errori stimati sulle due misure. Questo all'università, nei vari corsi di laboratorio, si fa. Perché si pensa che gli studenti di liceo non capiscano questo modo elementare di procedere?

Giuseppe Milanesi e Nino Martino

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