Carlo Ubertone - Nino Martino

Energia potenziale e funzione potenziale, forza gravitazionale e campo gravitazionale

A seconda delle esigenze della situazione si pu˛ descrivere la realtÓ fisica in termini di potenziale gravitazionale oppure in termini di campo gravitazionale

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Alcune considerazioni.

Poniamo una massa m nel campo gravitazionale terrestre. Se la portiamo dalla superficie del suolo all'altezza h facciamo un lavoro e le forniamo l'energia gravitazionale:

$$W=-L=mgh$$

Dunque l'energia potenziale gravitazionale dipende da due variabili, m e h.

$$W=f(m,h)$$

Vi ricordate la differenza fra forza gravitazionale e campo gravitazionale? Invece di considerare la forza su una massa m genrata dalla massa M della terra, potevamo pensare di condensare tutto il pezzo della formula che dipendeva dalla Terra e dalla costante di gravitazione universale G in un unico termine: \(\vec{g}\). Avevamo introdotto il campo gravitazionale \(\vec{g}\), un campo vettoriale con le buone caratteristiche che abbiamo già visto e con le loro conseguenze.

Il campo gravitazionale dipendeva solo da R, dalla distanza del punto in  cui lo consideravo dal centro della Terra. $$\vec{g}=f(R)\vec{i}$$

dove \(\vec{i}\) è un versore unitario. Il suo modulo è 1 e serve solo a dare direzione e verso.

Analogamente possiamo definire un lavoro unitario, cioè il lavoro fatto per spostare all'altezza h non la massa m ma una massa unitaria:

$$L_{u}=\frac{L}{m}$$

E dunque dal confronto delle due precedenti:

$$L_{u}= gh$$

Allora per il calcolo o uso la forza gravitazionale o il campo gravitazionale. Nel primo caso ottengo l'energia potenziale, nel secondo caso la funzione potenziale.

$$F=mg$$  $$L=mgh$$  $$W=mgh$$

$$g$$  $$L_{u}=gh$$ $$V=gh $$

Abbiamo così definito la funzione potenziale gravitazionale, che dipende solo dall'altezza h. $$V=gh=f(h)$$ e ovviamente $$W=mV=f(m,h)$$

La funzione potenziale NON ha le dimensioni di un'energia ma le dimensioni di un'energia diviso una massa. È un'energia potenziale unitaria, cioè può essere pensata come l'energia potenziale che ha un'unità di massa. Sono tutti modi equivalenti per dire la stessa cosa.

Perché è comodo parlare di funzione potenziale e non di energia potenziale?
Per lo stesso motivo per cui era conveniente parlare di campo gravitazionale piuttosto che di forza gravitazionale.

Metto una massa M in un punto dello spazio. Questa crea un campo gravitazionale \(\vec{g}\) che si propaga nello spazio alla velocità della luce (non infinita!). Associato a questo posso pensare a un potenziale gravitazionale che anch'esso (ovviamente) si propaga alla velocità della luce (non istantaneamente!).Sono due modi di vedere e descrivere quello che succede assolutamente equivalenti. In ogni momento si può passare da una descrizione all'altra. Ma quando si preferisce usare l'uno piuttosto che l'altro?

Si preferisce usare la funzione potenziale quando si deve ragionare in termini di energia, di trasformazioni di energia. Si preferisce il campo gravitazionale quando per qualche motivo si deve ragionare in termini di vettori e di forze applicate.

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