Carlo Ubertone e Nino Martino

La forza di gravitÓ

Poteva Newton ricavare la legge di gravitazione universale dall'osservazione delle mele che cadono?

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Poteva Newton ricavare la legge di gravitazione universale dall'osservazione delle mele che cadono (in genere sulla sua testa)? No. E questo perché noi abbiamo esperienza quotidiana di oggetti che vengono attirati dalla terra ma non della terra che è attirata dall'oggetto che abbiamo in mano. Pensare che due masse si attirano reciprocamente è per lo meno bizzarro.  Prendete due oggetti qualunque ciascuno in ciascuna mano. Avete qualche difficlotà a tenerli separati? Sentite quakche forza? No. Il senso comune si forma dall'esperienza quotidiana. E il senso comune ci dice che le masse NON si attirano. Ma spesso il senso comune e la fisica non vanno d'accordo.

Newton ha tirato fuori la sua legge sulla gravitazione universale dall'osservazione sui pianeti.

Newton aveva già formulato i due principi della dinamica:

      1. In assenza di forze esterne un corpo mantiene il suo stato di moto: o rimane fermo o si muove di moto rettilineo uniforme
      2. Una forza esterna costante produce un'accelerazione costante nella stessa direzione e verso della forza

Ma sapeva anche, da Keplero, suo contemporaneo, che i pianeti percorrono orbite chiuse. I pianeti si muovono nel vuoto. Ma se non fanno traiettorie rettilinee vuol dire che è presente una forza che li costringe a una traiettoria chiusa. Questa forza è la forza di gravità. Esaminiamo in dettagli senza più alcuna preoccupazione storica.
Se io prendo due masse m e M e le metto a una distanza d (distanza misurata dai baricentri delle due masse ( i baricentri sono i punti in cui posso pensare concentrata tutta la massa del corpo):

Determiniamo sperimentalmente la forza (sempre attrattiva) che si esercita sulle due masse. Le variabili dell'esperimento (fatto ufficialmente da Henry Cavendish) sono tre: la massa \(M\), la massa \(m\) e la distanza \(d\)  fra i baricentri delle due masse.

Per fare ciò teniamo ferme di volta in volta due variabili:

tengo costante \(M\), \(d\) e ottengo che: \(F\propto m\)

tengo costante \(m\), \(d\) e ottengo che: \(F\propto M\)

tengo costante \(M\), \(m\) e ottengo che:\(F\propto\frac{1}{d^{2}}\)

Le tre proporzionalità separate le posso condensare nell'unica formula: $$F\propto\frac{Mm}{d^{2}}$$

Secondo consuetudine posso sostituire il segno di proporzionalità con il segno uguale a patto di mettere una costante moltiplicativa \(K\):

$$F=K\frac{Mm}{d^{2}}$$

La costante \(K\) si chiama costante di gravitazione universale, si indica con \(G\), ed ha un valore preciso (per quello che ne sappiamo) in tutto l'universo. Nel Sistema Internazionale di unità di misura \(G\ =\ 6,67 \cdot 10^{-11}\ \frac{\text{N}\text{m}^2}{\text{kg}^2}\)

Allora la legge della gravitrazione universale può essere scritta così: $$F\ =\ G\frac{Mm}{d^{2}}$$

Questa legge vale per qualunque coppia di masse a una qualunque distanza nell'universo. Se vogliamo applicarla alla terra, presupponendo che un oggetto si trovi ad una altezza \(h\) dalla
superficie terrestre: \(F\ =\ G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}\)

Dove \(R\) è il raggio della terra \(R\ =\ 6,37\cdot 10^6 \text{m}\). Se pensiamo \(h \ll R\) (tipo cento metri rispetto a ... sei milioni di metri...) possiamo trascurare \(h\) e otteniamo la formula (approssimata!) \(F\ =\ G\frac{Mm}{R^{2}}\).

In questa formula \(G\) è costante (è la costante di gravitazione universale). \(M\) è costante perché è la massa della terra che non varia molto salvo qualche sgradevole impatto con asteroidi di grandi dimensioni. La massa della terra è \(M \approx 5,979\cdot 10^{24}\ \text{Kg}\). Il raggio della terra lo possiamo considerare costante (si dovrebbe tenere conto della differenza fra raggio all'equatore e raggio al polo, la terra è un po' schiacciata).  L'unica variabile è la massa \(m\)che pongo nel campo gravitazionale terrestre (vedremo in una prossima lezione di definire meglio cosa vuol dire in fisica "campo"). Quindi il termine: \(G\frac{M}{R^{2}}\) lo posso calcolare una volta per tutte e chiamarlo \(g\)Se sostituite i valori indicati qui sopra e effettuate iconti ottenete: \(g \approx 9,8\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)

L'unità di misura di \(g\) ? Confrontiamo due formule, quella appena ottenuta e il secondo principio della dinamica:

$$F=mg$$

$$F=ma$$

\(g\) gioca il ruolo di \(a\)

\(g\) ha le dimensioni di una accelerazione e quindi si misura in \(\frac{\text{metri}}{\text{secondi}^2}\)

Ho fatto queste consiedrazioni nell'ipotesi di poter trascurare \(h\) rispetto a \(R\) (l'altezza \(h\) relativa alla superficie della terra rispetto al raggio terrestre \(R\). Ma che cosa succede a \(g\) se NON posso trascurare \(h\) rispetto a \(R\) ? No problem, posso sempre scrivere: \(F=mg\) solo che questa volta \(g\) non può essere costante, dipende anche dalla varibaile \(h\) :  \(g=G\frac{M}{(h+R)^{2}}\):  \(g\),  l'accelerazione di gravità, è diversa se calcolata sulla superficie della terra o sul monte Everest.

Altra notazione. L'accelrazione è un vettore, lo sappiamo. E \(g\) ? Anche \(g\) è un vettore. Abbiamo potuto ometterlo per semplicità fino a questo momento. In effetti la forza di gravità è diretta verso il centro della Terra. Quindi è diretta perpendicolarmente rispetto alla superficie della terra. Ma per correttezza e per problemi futuri la formula generale va scritta correttamente:

$$\vec{F}=G\frac{M}{(h+R)^{2}}\vec{i}$$

dove \(\vec{i}\) è un versore che ha direzione raggio della terra e verso quello che va dall'oggetto di massa \(m\) al centro della Terra. E chiameremo il vettore \(\vec{g}\) campo gravitazionale terrestre.

 

Domande:

    1. Fate il calcolo usando le formule qui sopra. Se io prendo una massa da \(5\ \text{kg}\) in una mano e una massa di \(1\ \text{kg}\) nell'altra (spero ci riusciate, eh...) a una distanza di \(1\ \text{cm}\) una dall'altra (quindi molto vicine), che forza sdi esercita fra le due? Pensate di essere in grado di percepire la forza di attrazione fra le due?
    2. Sto scalando un sentiero di montagna. La salita è ripida. Come è diretto il vettore \(\vec{g}\)? È perpendicolare al terreno oppure no?
    3. Cercate in wiki la massa della Terra e la massa della luna e la distanza fra le due. Che forza di attrazione si esercita fra le due?
    4. Se andate dal fruttivendolo e comprate un po' di mele gli chiederete ad esempio \(3\ \text{kg}\) di mele. Lui le pesa su una bilancia. Come fa la bilancia a pesare la massa delle mele? Cosa misura la bilancia esattamente? E se la bilancia misura una forza (la forza peso) perché non chiedete \(29,4\ \text{N}\)?

 

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