Carlo Ubertone e Nino Martino

ProprietÓ del campo vettoriale gravitazionale

Definizione del concetto dicampo, sua corrispondenza con la realtÓ fisica. Esempi di campo vettoriale. ProprietÓ del campo gravitazionale.

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Specifichiamo meglio il concetto di campo così come lo stiamo introducendo. Dal punto di vista matematico sembra un artificio. Invece di palrare di forza gravitazionale tra due masse, M e m, parliamo di campo genrato dalla massa M. Quando pongo una massa m nel campo genrato da M essa subisce una forza gravitazionale data da \(m\vec{g}\).
In effetti dal punto di vista matematico sembra proprio un artifico. Magari comodo. Mac'è un problema dal punto di vista della fisica contemporanea, che ci impone di rivedere proprio il concetto di campo.
Nessun segnale, o messaggio, o quant'altro può andare a velocità maggiore dellal uce.

Supponimao di mettere una massa M in un punto dello spazio.  La massa m ad un anno luce di distanzada M "sente" immediatamente lapresenza della massa M e comincia ad agitarsi adeguatamente?
No.
Nella formulazione matrmatica di campo non c'è nulla che faccia vedere questo. ma nella realtà possimao pensare che la massa M genera un campo, visto come una perturbazione delle proprietà dello spazio intorno alla massa M. E questa perturbazione si propaga per tutto lo spazio intorno alla massa M, in simmetria sferica intorno a M,  a velocità della luce c.

Il campo non è più un artificio matematico, checomporterebbe un'azione a distanza istantanea, ma acquista una sua realtà fisica. È la descrizione in termini simbolici matematici di un qualche cosa, dioendente dalla massa M, che si propaga nello spazio. Quando questa perturbazione incontra la massa m, subito (ma solo allora!) la massa m sente una froza di attrazione gravitazionale, data da \(m\vec{g}\).

A questo punto conviene, come al solito, studiare le propietà matematiche di un campo. La formalizzazione matematica ci permette di comprendere e prevedere comportmaneti fisici reali che potrebbero essere interessanti.

Così un campo vettoriale?

Un campo vettoriale su uno spazio  è una costruzione  che associa a ogni punto di una regione di uno spazio  un vettore.

immagine di un campo vettoriale.

Prendiamo per esempio un elastico. fissato in un certo punto. L'elastico si può tendere in tute le direzioni, ovviamente. Posso rapprresentare il campo vettoriale generato nel modo seguente:

immagine di campo vettoriale

Osseravte che è bizzarro. Allontanandosi dal centro, tendendo l'elastico, , con la mano, sento una forza che cresce proporzionalmente alla distanza. Nello spazio c'è una zona vuota (l'elastico non è in tensione, son opunti dello spazio in cui la distanza dal centro è infweriore alla lunghezza dell'elastico. Poi c'è una zona, una calotta sferica, in cui c'è il campo di forze leastiche, e poi non c'è più nulla dopo una certa distanza dal centro.
Domanda: come mai?

Provate a pensarci prima di guardare la risposta.

Rsiposta, per i pigri: l'elatico dopo una certa distanza si rompe.

I campi parlano solo di forzeo di cose connesse alle forze. No, certamente. La defizione di campo è una definzione matematica che astrai dall'oggeto descritto. Pensiamo a un tubo, percorso da acqua. Il tubo del giardino. Posso pensare aun campo vettoriale fatto come in figura.

 

immagine del tubo attraverato dall'acqua

Cosa descrive quest'astrazione matematica? Ad ogni punto dello spazio all'interno del tubo è associato un vettore velocità dell'acqua. Il vettore velocità  lungol inee parallele alle pareti del tubo è costante. Ma c'è una variazione quando avvicino queste linee parallele in prossimità delle pareti.  Potreste comprendere perché? Pensate all'acqua come un fluido reale, con una sua viscosità inevitabile, non come a un fluido indealizzato senza viscosità.

Eservcizio: provate a immaginare un campo vettoriale diquakche tipo che descriva qualche realtà fisica che ci cirocnda.

Riempite il lavello di cucina di acqua, poi levate il tappo. In genre l'acqua formas un vortice per scendere dallo scarico. Di nuovo posso associare ad ogni punto dello spazio intorno allo scarico un vettore velocità. E questa volta avremo una disposizionespaziale come in figura.

figura del vortice intorno allo scarico.

Quindi con un campo vettoriale possiamo rappresentare molte situazioni fisicamente diverse.

Ma una volta fatto il passo dell'astrazione in fomralismo matematico, è possibile studiare il comprtamento del campo vettoriale. E tirare fuori delle conseguenze proprio da come è fatto, dalle sue proprietà. Se l'astrazione è stata fatta in modo corretto (se quimdi corrisponde alla realtà fisica dei fatti) le conseguenze, per quanto bizzarre possano sembrare a prima vista saranno tutte verificabili fisicamente, sperimentalmente.

Questa è la potenza dell'astrazione nel formalismo matematico.

Ora, quali sono le propietà del cmapo gravitazioale?

Il campo gravitazionale terrestre ha la proprietà di essere radiale.

Il modulo del campo gravitazionale dipende dall'inverso del quadrato della distanza.

Il campo gravitazionale ha la proprietà di addittività (somma vettoriale).

Da ciascuna di queste propietà del campo discenderanno leggi fisiche precise. Dalla sua radilaità discenderà la possibilità di definire una funzione potenziale e il fatto che il campo gravitazionale è conservativo (vedremo meglio cosa significa).

Dalla dioendenza dall'inverso del quadrato della distanza e da considerazioni sulal simmetria discenderà il teorema di Gauss, con il quale potremo fare veelocmente i calcoli in una serie di situazioni.

E dall'addittività discenderà una semplificazione per quanto riguarda la situazione in presenza di più masse. Potrebbe generarsi una situazione molto comlicata a priori, di difficle calcolo. Invece tutto si scioglierà semplicmeente.

Andiamo ora a vedere in dettaglio ciascuna di queste conseguenze.

Ma lap otenza dell'astrazione e della formalizzazione delle propietà del concettgo di campo sta oltre al caso gravitazionale.

Vedremo più tardi che anche il campo elettrico generato da una carica ha le stesse proprietà formali del campo gravitazionale. Quindi tutto ciò che ricaviamo per quanto riguarda il cmapo gravitazionale potremo ricavarlo più in là nel programma per quanto riguarda il campo elettrico.

Per ogni campo vettoriale che ha le carattersitiche suddette, valgono le stesse proprietà formali e le stesse consguenze, gli stessi teoremi matematicamente formalizzati. Questa è la potenza dell'astrazione matematica e la sua forulazione simbolica.

 

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