Carlo Ubertone e Nino Martino

Teorema di Gauss per il campo gravitazionale - parte seconda

Dalla proprietą della proporzionalitą di g rispetto all'inverso del quadrato della distanza discende il teorema di Gauss. In questa prima parte si definisce il flusso di un vettore attraverso una superficie quakunque attraverso una superficie chiusa con i

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Definizione di flusso di un vettore attraverso una superficie qualunque

Facciamo un'ulteriore generalizzazione. Come possiamo definire il flusso di un vettore attraverso una superficie qualunque? Supponiamo che il campo vettoriale non sia nemmeno uniforme. In ogni punto della superficie il vettore cambia e cambia la sua direzione, e la superficie hau na fomra qualunque.

immagine di un campo vettoriale qualuqneu che attraversa una superficie qualunque aperta

 

Noi avevamo definito il flusso di un vettore attraverso una superficie piana, ma la superficie in figura non è certamente piana. E poi NON siamo in presenza di un campo uniforme.

Ricorriamo allora a un "trucco", del tutto identico a quello che userete in analisi matematica, prossimamente (è il concetto alla base).

Prendiamo un elemento infinitesimo di superficie \(dS\). Un lelemnto infinitesimo è un lemento piccolo, più piccolo di ogni numero preso piccolo a piacere. Ma è zero? NO, non è zero.  È più piccolo di 1mm2? Sì. È più piccolo di 0,000001mm2? Sì. È più piccolo di 0,000001mm2? Sì. Ma è zero? NO, non è zero. Ecco, questo è il trucco.

Ma l'elemnto di superficie \(dS\) è così èpiccolo che possimao pensarlo come un infinitesimo di suoerficie piana. Ma se faccio la somma infinita (infinita!) di tutti gli elementi infinitesimi di superficie piana ottengo la superficie di partenza, che NON è piana..Cosa ho otenuto con questo "trucco"?

Ho ottenuto che ora posso scrivere la mia definizione precedente di flusso attraverso la superficie piana.

L'elemento infinitesimo (infinitesimo!) di flusso è dato ora dalla formula:

$$d\varPhi(\vec{A})=\vec{n}\cdot\vec{A}dS$$

Il vettore \(\vec{A}\) lungo tutta l'elemento infinitesimo di superficie è costante in modulo, direzione e verso. Non fai n tempo a cambiare.

E ovviamente \(\vec{n}\) è il versore per dare il carattere vettoriale all'elemento di superficie infinitesima \(ds\), come fatto in precedenza. Il suo verso anche qui è arbitrartia, in quakche modo, ma vederete in seguito che l'arbotrarietà si scioglierà.

Il flusso totale attravwerso la superficie total \(S\) sarà allora la somma infinita (infinita!) di tutti gli infinitesimi di flusso:

$$\varPhi_{S}(\vec{A})=\sum_{\infty}d\varPhi(\vec{A})$$

Noi abbiamo usato il segno di sommatoria per indicare la somma infginita di infiniti infinitesimi. In realtà poi vedrete in matematica che questa particolare somma si chiama "integrale" e si scrive con un apposito simbolo: \(\int\)

Quindi la formula in termini matematici più compatti si scriverà:

$$\varPhi_{S}(\vec{A})=\int d\varPhi(\vec{A})$$

Come vedete stiamo costruendo passo passo il formalismo necedsario per arrivare al teorema di Gauss che poi sarà assai semplice simbolicamente, sfrutterà a pieno le proprietà del campo vettoriale gravitazionale e che cipermetterà di calcolare in maniera rapida una serei di situazioni che altrimenti sarebbero estremamente complicate. Ci stiamo costruendo lo strumento matematico per semplificarci la vita, non certamente per complicarcela ( si spera).

E ora facciamo un ultimo passo:

Definizione di flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa qualunque

Adesso è semplice definire il flusso del vettore \(\vec{A} attraverso una superficie chiusa. Un esmpio di superficie chiusa potrebbe essere la superficie di una sfera. Un esempio di superficie qualunque aperta potrebbe essere una lamiera ondulata.

In realtà nella formula non c'è niente da cambiare. La superficie S che figura al pedice del flusso è la superficie chiusa. Ma la cosa interessante è che possiamo sciogliere l'ambiguità del versore \(\vec{n}\). Convenzionalmente si definisce il verso postivo del versore \(\vec{n}\) quello che punto fuori della superficie chiusa, come verso negativo del versore \(\vec{n}\) si assumerà quello che punta dentro la superficie chiusa:

$$\varPhi_{S}(\vec{A})=\int \vec{n}\cdot\vec{A}dS$$

Abbiamo qui usato il simbolo \(\int \) al posto di \(\sum_{\infty}\) per correttezza formale. Il significato è chiaro e per quello che ci servitrà non sarà necessartio studiare a fondo le proprietà degli integrali, o saperli calcolare.

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