Teorema di Gauss per il campo gravitazionale – parte terza

Carlo Ubertone e Nino Martino

Acquisiti i formalismi matematici necessari si ricava i lteorema di Gauss nel caso del campo gravitazionale generato da una massa M

Prendiamo ora una massa M e il campo gravitazionale da lei generato, come in figura. E prendiamo una superficie chiusa che la contenga. Come al solito partiamo da una situazione semplice, la più semplice possibile. Come sempre la situazione più semplice possibile sarà quella in cui c’è la massima simmetria.
Qual è la massima simmetria possibile per una superficie chiusa che contenga la massa M?

Una sfera con al centro la massa M. La superficie della sfera è simmetrica per rotazione rispetto a infiniti (infiniti!) assi che passano per il centro della sfera.

Partiamo dunque da una situazione molto comoda e poi, come al solito complicheremo mano a mano la situazione. Domanda: quanto vale il flusso di $\vec{g}$ attraverso l’intera superficie chiusa sferica centrata sulla massa M?

Il modulo del vettore $\vec{g}$ è costante lungo tutta la superficie sferica. La direzione è lungo il raggio. Il verso è verso il fuori della sfera. E il versore $\vec{n}$? La sua direzione è lungo il raggio della sfera. Il suo verso è verso il fuori della sfera. Sia $\vec{g}$ che $\vec{n}$ hanno la stessa direzione e verso.

Se ora calcolo il flusso infinitesimo attraverso la superficie infinitesima $dS$ il prodotto scalare si scioglie (il coseno di 0° vale 1):

$$d\varPhi(\vec{g})=\vec{n}\cdot\vec{g}dS=gdS$$

Adesso facciamo la somma di tutti gli infiniti infinitesimi di superficie. Ma il modulo g è costante su tutta la superficie e la somma infinita di tutti gli infinitesimi $dS$ non è altro che la superficie della sfera. Quindi:

$$\varPhi(\vec{g})=\int d\varPhi(\vec{g})=g4\pi R^{2}$$

Sostituiamo il valore di g sulla superficie della sfera di raggio R:

$$g=G\frac{M}{R^{2}}$$

e il flusso diventa:

$$\varPhi(\vec{g})=G\frac{M}{R^{2}}4\pi R^{2}$$

E facendo le dovute semplificazioni otteniamo il teorema di Gauss per il campo gravitazionale:

$$\varPhi_{S}(\vec{g})=4\pi GM$$

Bene. Cosa è stato importante ai fini della dimostrazione? Due cose: la prima è che il campo gravitazionale è inversamente proporzionale a $R^{2}$. Se non fosse stato così non avremmo potuto semplificare $R^{2}$ con $R^{2}$. La seconda è che abbiamo sfruttato la radialità per semplificarci i conti, mettendo la superficie sferica “centrata” sulla massa puntiforme M. La seconda condizione è davvero necessaria?

Passo indietro: quanto vale il flusso del campo gravitazionale di una massa puntiforme $M$ attraverso una superficie chiusa qualunque tutta ESTERNA alla massa M?

Guardate la figura. Tanto flusso entra tanto flusso esce. Il flusso totale è zero.

Prendiamo allora una superficie sferica chiusa e una superficie chiusa qualunque che semplicemente contenga la massa puntiforme M. Guardate la figura. Il flusso attraverso la superficie sferica chiusa e centrata è uguale al flusso attraverso la superficie qualunque NON centrata su M

Quindi il teorema di Gauss è indipendente dal fatto che la superficie sia sferica. L’abbiamo calcolato nel caso della superficie sferica per semplicità, ma

$$\varPhi_{S}(\vec{g})=4\pi GM$$

è vero per qualunque superficie che contenga la massa M.

E se io ho più masse, $M_{1}$ , $M_{2}$ , … $M_{n}$?

Il campo gravitazione $\vec{g}$ abbiamo visto che ha anche la proprietà di essere additivo. Potrei dunque calcolare separatamente il flusso dovuto alla massa 1, quello dovuto alla massa 2 ecc. e sommarli tra di loro per avere il flusso totale dovuto alla distribuzione di cariche.

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