Il fenomeno della elasticità e le grandezze proporzionali

Nino Martino, Carlo Ubertone

 Un po’ meno breve (ma sempre conciso) report relativo alla discussione sull’esperimento di allungamento delle molle.

Discussione in classe sui risultati ottenuti in laboratorio sull’allungamento delle molle. Cosa significa che due grandezze fisiche sono proporzionali fra di loro?

Abbiamo utilizzato nella discussione i risultati ottenuti da uno dei gruppi di lavoro.

Un rappresentante del gruppo ha esposto (e scritto alla lavagna, altrimenti avremmo lavorato sul nulla) i risultati ottenuti nell’esperimento descritto nel report precedente. In particolare sono stati riportati i valori delle seguenti grandezze: lunghezza a riposo della molla, massa del pesetto appeso, lunghezza della molla “allungata”.

Ci siamo prima di tutto chiesti quali dovessero essere le grandezze da prendere in considerazione, ed abbiamo subito concluso che la scelta più ragionevole fosse quella di confrontare, vediamo poi come, i valori di massa appesa ed allungamento della molla (abbiamo osservato che l’effetto del corpo appeso è proprio quello di allungare la molla, quindi è presumibile che l’allungamento abbia relazione con la massa del corpo, mentre la lunghezza totale della molla allungata dipende anche dalla lunghezza iniziale).

A questo punto si è posto il problema di come effettuare il confronto. Beh, i grafici servono proprio a dare una idea del tipo di relazione che intercorre fra due grandezze e, guarda caso, abbiamo imparato ad usare i grafici in Excel. Allora la prima cosa che dobbiamo fare è rappresentare nel foglio elettronico i valori ottenuti e osservare come cadono le coppie di punti.

In realtà qui abbiamo barato: eravamo in classe e non avevamo la possibilità di utilizzare Excel, pertanto vi siete fidati di quello che diceva il prof. (domanda: fate bene a fidarvi ciecamente di quanto vi viene detto dalla cattedra? Non è meglio controllare di persona, nel caso sia possibile farlo, e in questo caso avreste dovuto esserlo?) Abbiamo allora rappresentato sulla lavagna un grafico del tipo di quello che avremmo ottenuto in Excel, abbiamo costruito un piano cartesiano riportando sull’asse delle ascisse gli allungamenti e sull’asse delle ordinate la massa del corpo appeso. L’abbiamo osservato e abbiamo concluso che  i punti giacciono approssimativamente su una retta passante per l’origine. 

Piccola digressione: come individuare l’equazione di tale retta? Non ne discuteremo in questa sede, ma evidentemente questo problema è già stato affrontato e “risolto”. Quando vedrete, durante i futuri anni scolastici, la costruzione della retta di regressione durante le lezioni di statistica, riconsiderate questo esempio.

A questo punto abbiamo introdotto l’idea di proporzionalità diretta, sfruttando anche le conoscenze che già avevate dalle scuole precedenti. Vi è stato chiesto dal docente di dare una definizione di proporzionalità diretta e, dopo la consueta “definizione” scorretta: <<Due classi di grandezze sono direttamente proporzionali se all’aumentare dell’una aumenta l’altra>>, siete arrivati a fornire le possibili definizioni:

1. Due classi di grandezze sono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, in generale moltiplicando per una fattore n l’una si raddoppia, triplica, moltiplica per lo stesso fattore n anche l’altra.
2. Due classi di grandezze sono direttamente proporzionali se il rapporto fra i valori corrispondenti è costante.
3. Due classi di grandezze sono direttamente proporzionali se la relazione che le lega è della forma Y = k X, dove Y e X sono le grandezze e k è la costante di proporzionalità
4. Ultima possibile definizione: due classi di grandezze sono direttamente proporzionali se la rappresentazione grafica del loro legame in un piano cartesiano è una retta passante per l’origine degli assi.

Altra piccola digressione: il fatto che la prima risposta che è stata fornita fosse scorretta (vedi sopra) e che in questo report venga citata tale risposta non è un caso. Un errore (nel senso effettivo di sbaglio, non di incertezza come nella misura di una grandezza) tipico dello studente che prova a ripetere a memoria senza comprendere il senso di quanto va dicendo, è proprio quello di scambiare il comportamento di una funzione genericamente crescente (chiedere al docente di matematica di cosa si tratta) con quello di una proporzionalità diretta.

A questo punto, per descrivere ciò che abbiamo trovato, abbiamo introdotto la relazione
F = k Δ l
dove F è la forza peso (la massa moltiplicata per l’accelerazione g di gravità, già vista nell’esperimento sul pendolo e pari a 9,81 m/s²), Δ l  l’allungamento e k prende il nome di costante elastica ed è una caratteristica della singola molla (quindi avendo voi lavorato su molle differenti, dovreste trovare valori differenti per k).

Siamo quindi riusciti a costruirci una relazione fra il peso che viene sospeso e l’allungamento della molla, relazione che ci consente di fare previsioni sui risultati di altri esperimenti nei quali usiamo le molle.

Domanda che prefigura il prossimo lavoro: la relazione fra peso applicato ed allungamento sarà dello stesso tipo per tutti i “corpi elastici”? Pensateci.  
(N.d.R. Rileggendo il lavoro fatto mi viene da pensare che c’è un aspetto spesso ignorato, dato per scontato: una serie di simboli legati tra di loro, completamente astratti, inventati dalla specie umana insieme al linguaggio e alla scrittura, possono tentare di descrivere la realtà. Essere trasmessi, letti da altri che possono riprodurre il fenomeno descritto. Trovo che c’è del meraviglioso in tutto ciò, di incredibile. N.M.)