Carlo Ubertone e Nino Martino

Carlo Ubertone e Nino Martino

Definizione del concetto dicampo, sua corrispondenza con la realtà fisica. Esempi di campo vettoriale. Proprietà del campo gravitazionale.

Specifichiamo meglio il concetto di campo così come lo stiamo introducendo. Dal punto di vista matematico sembra un artificio. Invece di parlare di forza gravitazionale tra due masse, M e m, parliamo di campo generato dalla massa M. Quando pongo una massa m nel campo generato da M essa subisce una forza gravitazionale data da \(m\vec{g}\).
In effetti dal punto di vista matematico sembra proprio un artificio. Magari comodo. Ma c’è un problema dal punto di vista della fisica contemporanea, che ci impone di rivedere proprio il concetto di campo.
Nessun segnale, o messaggio, o quant’altro può andare a velocità maggiore della luce.

Supponiamo di mettere una massa M in un punto dello spazio.  La massa m ad un anno luce di distanza da M “sente” immediatamente la presenza della massa M e comincia ad agitarsi adeguatamente?
No.
Nella formulazione matematica di campo non c’è nulla che faccia vedere questo. ma nella realtà possiamo pensare che la massa M genera un campo, visto come una perturbazione delle proprietà dello spazio intorno alla massa M. E questa perturbazione si propaga per tutto lo spazio intorno alla massa M, in simmetria sferica intorno a M,  a velocità della luce c.

Il campo non è più un artificio matematico, che comporterebbe un’azione a distanza istantanea, ma acquista una sua realtà fisica. È la descrizione in termini simbolici matematici di un qualche cosa, dipendente dalla massa M, che si propaga nello spazio. Quando questa perturbazione incontra la massa m, subito (ma solo allora!) la massa m sente una forza di attrazione gravitazionale, data da \(m\vec{g}\).

A questo punto conviene, come al solito, studiare le proprietà matematiche di un campo. La formalizzazione matematica ci permette di comprendere e prevedere comportamenti fisici reali che potrebbero essere interessanti.

Così un campo vettoriale?

Un campo vettoriale su uno spazio  è una costruzione  che associa a ogni punto di una regione di uno spazio  un vettore.

un campo vettoriale qualunque
in un campo vettoriale ad ogni punto dello spazio è associato un vettore

Prendiamo per esempio un elastico. fissato in un certo punto. L’elastico si può tendere in tute le direzioni, ovviamente. Posso rappresentare il campo vettoriale generato nel modo seguente:

il campo vettoriale di un elastico al suo tendersi
Il campo vettoriale che si può pensare associato ad un elastico a seconda di come lo si tende. L’elastico è fissato al centro del campo vettoriale e viene teso in diverso modo in tutte le direzioni

Osservate che è bizzarro. Allontanandosi dal centro, tendendo l’elastico, , con la mano, sento una forza che cresce proporzionalmente alla distanza. Nello spazio, a partire dal centro dove è collegato un estremo c’è una zona vuota (l’elastico non è in tensione, sono punti dello spazio in cui la distanza dal centro è inferiore alla lunghezza dell’elastico). Poi c’è una zona, una calotta sferica, in cui c’è il campo di forze elastiche, e poi non c’è più nulla dopo una certa distanza dal centro.
Domanda: come mai?

Provate a pensarci prima di guardare la risposta.

Risposta, per i pigri: l’elastico dopo una certa distanza si rompe.

I campi parlano solo di forze o di cose connesse alle forze? No, certamente. La definizione di campo è una definizione matematica che astrai dall’oggetto descritto. Pensiamo a un tubo, percorso da acqua. Il tubo del giardino. Posso pensare a un campo vettoriale fatto come in figura.

schematizzazione del flusso dell'acqua dentro un tubi
campo delle velocità dell’acqua dentro a un tubo

Cosa descrive quest’astrazione matematica? Ad ogni punto dello spazio all’interno del tubo è associato un vettore velocità dell’acqua. Il vettore velocità  lungo linee parallele alle pareti del tubo è costante. Ma c’è una variazione quando avvicino queste linee parallele in prossimità delle pareti.  Potreste comprendere perché? Pensate all’acqua come un fluido reale, con una sua viscosità inevitabile, non come a un fluido idealizzato senza viscosità.

Esercizio: provate a immaginare un campo vettoriale di qualche tipo che descriva qualche realtà fisica che ci circonda.

Riempite il lavello di cucina di acqua, poi levate il tappo. In genere l’acqua forma un vortice per scendere dallo scarico. Di nuovo posso associare ad ogni punto dello spazio intorno allo scarico un vettore velocità. E questa volta avremo una disposizione spaziale. Le velocità sono rappresentate da vettori tangenti alle linee del vortice e aumentano mano a mano che ci si avvicina allo scarico. Provate a disegnarne la figura (magari dopo aver osservato uno scarico del lavello reale, e magari aggiungendo qualche goccia di inchiostro per vedere bene le linee del flusso del vortice.

Quindi con un campo vettoriale possiamo rappresentare molte situazioni fisicamente diverse.

Ma una volta fatto il passo dell’astrazione in formalismo matematico, è possibile studiare il comportamento del campo vettoriale. E tirare fuori delle conseguenze proprio da come è fatto, dalle sue proprietà. Se l’astrazione è stata fatta in modo corretto (se quindi corrisponde alla realtà fisica dei fatti) le conseguenze matematicamente dedotte, per quanto bizzarre possano sembrare a prima vista, saranno tutte verificabili fisicamente, sperimentalmente.

Questa è la potenza dell’astrazione nel formalismo matematico.

Ora, quali sono le proprietà del campo gravitazionale?

Il campo gravitazionale terrestre ha la proprietà di essere radiale.

Il modulo del campo gravitazionale dipende dall’inverso del quadrato della distanza.

Il campo gravitazionale ha la proprietà di additività (somma vettoriale).

Da ciascuna di queste proprietà del campo discenderanno leggi fisiche precise. Dalla sua radialità discenderà la possibilità di definire una funzione potenziale e il fatto che il campo gravitazionale è conservativo (vedremo meglio cosa significa).

Dalla dipendenza dall’inverso del quadrato della distanza e da considerazioni sulla simmetria discenderà il teorema di Gauss, con il quale potremo fare velocemente i calcoli in una serie di situazioni.

E dall’additività discenderà una semplificazione per quanto riguarda la situazione in presenza di più masse. Potrebbe generarsi una situazione molto complicata a priori, di difficile calcolo. Invece tutto si scioglierà semplicemente.

Andiamo ora a vedere in dettaglio ciascuna di queste conseguenze.

Ma la potenza dell’astrazione e della formalizzazione delle proprietà del concetto di campo va oltre al caso gravitazionale.

Vedremo più tardi che anche il campo elettrico generato da una carica ha le stesse proprietà formali del campo gravitazionale. Curioso, vero? Quindi tutto ciò che ricaviamo per quanto riguarda il campo gravitazionale potremo ricavarlo più in là nel programma per quanto riguarda il campo elettrico.

Per ogni campo vettoriale che ha le caratteristiche suddette, valgono le stesse proprietà formali e le stesse conseguenze, gli stessi teoremi matematicamente formalizzati. Questa è la potenza dell’astrazione matematica e della sua formulazione simbolica.